【廢文】基本事實：物理和數學

　　這是我前幾天想到的一個根本問題，其實這個問題在幾個月前我就有和室友爭論過了。同時，這也是我的第一片廢文系列，不過我倒是懶著再開新的文章標籤（為了一個可能都還不會是系列的系列文章開一個標籤，我覺得先不要好了）。先說這個廢文系列的開創是因為看到其他部落客會在自己的部落格上寫日記（也不一定會十分私密），有時就開玩笑說說這是廢文，我覺得這滿有意思的，因為這類的文章可以用來進行我們對讀者的思想灌輸的一個工具（再不然作為思想傳播的工具也好）。 

公設和基本事實 

　　幾個月前，我和室友在聊這個空間是有一些基本事實，而這個基本事實是公認的，但室友覺得這些基本事實只是少數幾個數學家、科學家等神人的共識，有些基本事實他本身不怎麼認同，怎麽可以作為基本事實、公設。 

　　我先說說我對於基本事實、公設的看法。這個名詞我相信修過高中數學甲的同學一定很熟悉，在龍騰版課本（我高中三年的課本都是龍騰版，編輯群從民國90多年都是同一批，且我覺得裡面的敘事口吻還蠻接近以前國立編譯館課本（我在學校圖書館看到的民國78年出版）的口吻）講解空間概念，有提到空間的基本事實，就像是兩點有一線、不共線三點可以構成一個平面，這些都是很直覺得「基本事實（本來就如此的事實）」，倘若這些基本事實作為某一領域擴張的基準點，我們可以適當地定義這個是公設，是多數人認同在某一領域的基本事實。我在這裡做一個簡單的統整，「基本事實」是不證自明的、大多人接受（要到什麼程度？）的一個現象、一個事實；倘若我們將這些基本事實進行一些適當地定義，以作為某一領域擴張的基礎，那就是「公設」（我覺得三民版的數學課本是用「公設」而不是「基本事實」這一名詞，裡面提到「不證自明」，這個詞是很貼切的，龍騰版課本沒有強調，我覺得有些可惜，同樣，三民版課本沒有強調公設的目的「作為某一領域擴張的基礎」也是有些可惜）。當然，這種公設基本上就不多了，要想辦法將一大堆現象拆解為這些基本事實的組合，這個世界不是那麼人定勝天，這裡就點出了數學的一個重要思維——找出最核心的基本事實，進行適當地定義，基於這些定義、公設來找出定理，逐步擴張一個領域——這裡我覺得像極了UNIX的哲學——Do one thing and do it well，用最少的、最基本的方式來完成目標。 

　　那時，我和室友在爭論高維度的世界是否存在，以及這些不被大家承認的基本事實怎麽會是基本事實？這裡我想到一個好的比喻，螞蟻的世界是一維的、人類的世界是三維的，螞蟻總不能否定三維世界的存在，因為螞蟻就在三維世界的一個子空間裡面，至少人類在三維世界可以看到螞蟻行一維運動。我們不能夠任意否認這些基本事實。再換個角度，看到愛因斯坦狹義相對論用到的閔氏空間，加入時間可以得到一個四維時空，因為沒有絕對時間這個事實，因此我們又發現了一個基本事實，形成閔氏幾何的公設。我室友認爲這些高維度是像想不出來、不被廣泛承認的事實，怎麼會是事實？我的回應是，我們可以根據這些已經知道的在高維度的基本事實（在物理上可以用實驗測量的結果來理解，可以這麼說，實驗結果是高維度世界在這個低維度世界的一種投影。再用螞蟻來解釋，螞蟻覺得自己在一維空間的移動所需要的力氣不是那麼均勻的，因此提出了很多解釋，但在人類眼中看來或許就是螞蟻在爬坡這麼簡單。請注意，在一維世界我們有辦法說明陡峭、緩和等概念嗎？我覺得不能，將一顆球放在有凹有凸的滑坡上，一維世界看到的就只是球忽快忽慢罷了，因為只有前進、後退，沒有上下和左右，是無法準確描述起伏。再一個鮮明的例子，我們要將一個線的彎曲程度，至少得要有一個平面，用來展示彎曲程度，只看數線是很難理解的。），適當地定義出公設，以此研究，因此我們不能任意否定這些高維度世界的存在，但同樣地，我們得要遵守「這些公設是最少的、最核心的、缺一不可的……」原則。

我不同意的物理做法 

　　這裡就舉一些例子，像是\(\int_{0}^{\infty} sin kx dx = \frac{1}{k}\)。我相信這個答案微積分老師看到都得吐血，這是因為我們濫用Feymann's Trick的結果，因為\(sin kx\)的拉式轉換得到\(\frac{k}{s^2 + k^2}\)，再把s取零，我們就說這和原函數的積分一樣，最搞笑的是，一大堆YouTuber一臉正經講這是可以的。我們來說說，這個技巧有什麼問題，因為這違反拉式轉換的存在性，我們規定拉式轉換的核函數（Kernel Function）的複數s（假定這個複數沒有虛部）要大於收斂橫座標\(\alpha_0\)（這個可以用定積分的均值定理或是簡單的矩形面積就可以得到的結論，在此略過），而正弦的收斂橫座標是0，因此我不可以取零，也就是說，費曼技巧是不合理的。但很多人認為這是合理的，但這個已經破壞了基本事實，因為正弦函數的瑕積分是不收斂的，即使這在實驗上是吻合的。 

　　這裡就點出了一個精神上的不同，在物理上，只要結果吻合，我們可以不理會數學的基本事實，這是最令我跳腳的，而這個精神的其中一個推廣者，正是費曼。物理在尋找一個大統一的理論，有種理論是基本模型，假設這些物理現象是因為一些不帶有體積（體積極小）、有質量、有電荷的粒子的交互作用而成（小知識：電子沒有體積，實驗上量不到，體積極小），因此這個假設使得很多物理式子算出來都會發散，費曼等人提出了「重整化」的概念，這裡面一個著名的例子就是所有的整數加起來是\(\frac{1}{12}\)。那我崇拜的物理學家狄拉克針對重整化所說：「我必須說我對於這樣情況相當不滿意。因為這樣一個『好的理論』以一種隨意的方法忽視了來自於方程式的無窮發散。這不是明智的數學。明智的數學可以忽略一個極小的值，但不能因一個值為無窮大而捨棄它。」而他本人十分熱衷於尋找物理和數學的對稱美，也認為找到一個物理公式應該先欣賞這個式子在數學上的美，但也因此和主流物理漸行漸遠。 

　　定義是人為的，是需要基於一些範圍內的基本事實來產生的，假如我們任意、不合理地做出定義，我覺得這和以前的巫術沒有甚麼區別，就像是算命，這也是某些人的特定觀點。 

這個系，我後悔了嗎？我的下一步 

　　我其實有點小後悔，因為我覺得自己並沒有那麼融入大家的哲學裡面。我其實贊同黑為塞的一句話：「數學分2種，嚴格的和物理直觀化的。前者的範圍窄；後者粗獷而廣泛。拘泥於公式的嚴格證明只會令絕大多數的數學物理探究止步不前。難道我要在完全理解消化反應的所有機理以前，拒絕進食嗎？（Mathematics is of two kinds, Rigorous and Physical. The former is Narrow: the latter Bold and Broad. To have to stop to formulate rigorous demonstrations would put a stop to most physico-mathematical inquiries. Am I to refuse to eat because I do not fully understand the mechanism of digestion?）」所以我也不是那麼拘泥於「嚴謹」的證明，不然我高中也不會畢業了，但我更加反對的是對於基本事實的不兼顧。我的部落格寫了很多資訊相關的文章，我不念資訊是因為我高中的時候發現我自己對於寫程式的耐心和成就感略遜於我思考一個數學、物理問題得到答案的過程（你或許可以說我就只是喜歡花解那些題目罷了，或是，我是更愛應用這些軟體），並且我自己有一個毛病，就是鑽研一個學問會使我加速對這個領域消耗熱情，我覺得目前利用長假花時間研究一下電腦作為消遣這我就很滿足了。會不會，目前算是因為在一個領域過度鑽研因此沒有熱情？我也不知道。 

　　我目前也不是很知道我的下一步，大概就修一些數學系的課、認真修好系上的課（往好處想，我兩個學期只有三科共6學分的課是B，其他都是A-以上，這個目標還是很值得繼續保持的），繼續在系上當個開口閉口是理查斯托曼的怪咖，好像也不錯。